Regulāra polyhedra: elementi simetriju un zonas

Ģeometrija ir skaista, jo, atšķirībā no algebras, kas ne vienmēr ir skaidrs, kāpēc un ko jūs domājat, dod vizuālu objektu. Šī brīnišķīgā pasaule dažādu iestāžu izgreznot regulāra polyhedra.

Vispārīga informācija par regulāru polyhedra

Saskaņā ar daudziem, regulāru daudzskaldnis, vai kā tos sauc platonisks cietas vielas, piemīt unikālas īpašības. Ar šiem objektiem savienotas vairākas zinātniskas hipotēzes. Kad jūs sāksiet pētīt ģeometriskos datus no ķermeņa, tu saproti, ka gandrīz neko nezinu par šāda jēdziena kā regulāri polyhedra. Šo objektu skolas prezentācija ir ne vienmēr ir interesanti, tik daudz nav pat atcerēties, ko viņi sauc. Piemiņai daļai cilvēku tas ir tikai kubs. Neviens no ķermeņa ģeometrijas nepiemīt šādu pilnību, kā regulāri daudzskaldnis. Visi nosaukumi šo ģeometrisko organizāciju cēlies no seno Grieķiju. Viņi pārstāv skaldņu skaitu: četrskaldnis - Četrpusējās, hexahedron - Allen, astoņskaldnis - astoņstūris, dodecahedron - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. Visi šie ģeometriskās ķermeņa ieņem svarīgu vietu Platona koncepciju Visumu. Četri no tiem ir ietverts elementus vai vienības: četrskaldnis - ugunsgrēks, kas icosahedron - ūdens kubs - zemes, astoņskaldnis - gaiss. Dodecahedron ietverts visas lietas. Viņš tika uzskatīts par galveno, kā simbols Visumu.

Vispārināšana jēdziena daudzskaldnis

Daudzskaldnis ir ierobežots kolekcija daudzstūru, piemēram, ka:

• katrs no abām pusēm ir jebkurš no daudzstūra ir tajā pašā laikā tikai vienu pusi no cita daudzstūris tajā pašā pusē;
• no katras daudzstūra jūs varat iet uz otru iet blakus tai poligoniem.

Daudzstūrus veido daudzskaldnis pārstāvēt savas sejas un to sānu - ribām. polyhedra virsotnes ir virsotnes poligoniem. Ja termins daudzstūris saprast dzīvokli slēgtos polylines, tad nāk uz vienu definīciju daudzskaldnis. Gadījumā, ja ar šo terminu tiek saprasts daļa no plaknes, kas ierobežo nepārtrauktām līnijām, tas tiks saprasts virsma sastāv no daudzstūra gabaliem. Izliekts daudzskaldnis sauc ķermeni guļam vienā pusē no plaknes, kas atrodas blakus tās sejas.

Vēl viens daudzskaldnis un tās elementu definīcija

Daudzskaldnis sauc virsma sastāv no daudzstūri, kas ierobežo ģeometrisko ķermeni. Tie ir:

• non-izliekti;
• izliektas (pa labi un pareizi).

Regulāra daudzskaldnis - ir izliekta daudzskaldnis ar maksimālo simetrija. Elementi regulāra polyhedra:

• Tetrahedron: 6 ribas 4 ēkas plaknes 5 virsotnes;
• hexahedron (kubs) 12, 6, 8;
• dodecahedron 30, 12, 20;
• astoņskaldnis 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

Eilera teorēma

Tā nosaka attiecības starp vairākām malām, virsotņu un sejas ir topologically līdzvērtīgs sfēru. Pievienojot skaitu virsotņu un sejas (B + D) ir atšķirīgs regulāra polyhedra un salīdzinot tos ar skaitu ribu, tas ir iespējams, lai noteiktu vienu noteikums: skaita sejas vienāds ar skaitu virsotnes un malām (P) palielinājās par 2. summa ir iespējams, lai iegūtu vienkāršu formulu:

• B + D = P + 2.

Šī formula ir derīga visās izliektu polyhedra.

pamata definīcijas

Par regulāru daudzskaldnis koncepcija ir neiespējami aprakstīt vienā teikumā. Tas ir vairāk novērtē un apjomu. Struktūra, kas tiks atzīti par tādiem, ir nepieciešams, ka tas atbilst vairākas definīcijas. Tādējādi ģeometriskais ķermenis būs regulārs daudzskaldnis, ja ir ievēroti visi šie nosacījumi:

• tas ir izliekta;
• tāds pats skaits ribu konverģē katrā tās virsotnes;
• visas šķautnes viņa - regulāru daudzstūru, kas vienāds ar otru;
• Visi divplakņu leņķi ir vienādi.

Īpašības regulāra polyhedra

Ir 5 dažādu veidu regulāro polyhedra:

1. Cube (hexahedron) - tas ir dzīvoklis virsotnes leņķis ir 90 °. Tā ir 3-sided leņķi. Summa sejas leņķi virsotnē 270 °.
2. Tetrahedron - plakana virsotnes leņķis no - 60 °. Tā ir 3-sided leņķi. Summa sejas leņķi virsotnē - 180 °.
3. Astoņskaldnis - plakana virsotnes leņķis no - 60 °. Tā ir četru šķautņu leņķi. Summa sejas leņķi virsotnē - 240 °.
4. Dodecahedron - dzīvoklis virsotnes leņķis ir 108 °. Tā ir 3-sided leņķi. Summa sejas leņķi virsotnē - 324 °.
5. Icosahedron - tā ir plakana virsotne leņķi - 60 °. Tā ir piecu novietotās leņķi. Summa sejas leņķi virsotnē 300 °.

Regulāru polyhedra platība

Virsmas laukums ģeometriskās struktūras (S) tiek aprēķināts kā regulāra daudzstūra apgabalā, kas reizināts ar skaitu šķautnes (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG π / p.

Apjoms regulāru daudzskaldnis

Šī vērtība tiek aprēķināta, reizinot tilpumu regulāra piramīda, kura bāze ir regulāri daudzstūri, skaldņu skaitu, un tās augstums ir ierakstīti rādiuss sfēras (r):

• V = 1: 3Rs.

Apjomi regulāri polyhedra

Tāpat kā jebkuru citu ģeometrisko cietas, regulāri polyhedra ir dažādi apjomi. Zemāk ir formulas, ar kuru viņi var aprēķināt:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• astoņskaldnis: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• hexahedron (kubs): alfa x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elementi regulāra polyhedra

Hexahedron un astoņskaldnis ir divu ģeometriskas struktūras. Citiem vārdiem sakot, viņi var saņemt no otra gadījumā, centroīdu viens tiek pieņemts par virs otra, un otrādi. Tāpat ir dual icosahedron un dodecahedron. Pats tikai četrskaldnis ir divējāda. Saskaņā ar metodi Euclid var iegūt no dodecahedron hexahedron izbūvējot "jumti", uz sejas kuba. Par tetraedra virsotnes ir jebkuras 4 virsotnes kuba, kas neatrodas blakus pāriem gar malu. No hexahedron (kubs), var iegūt, un citu regulāra polyhedra. Neskatoties uz to, ka regulāra daudzstūra tur ir neskaitāmas, regulāra polyhedra, ir tikai 5.

Izliekuma regulāri daudzstūra

Ar katru no šiem ģeometriskās struktūras ir savienotas koncentriski sfēras 3:

• aprakstīts, kas iet caur virsotnes;
• uzrakstīts par katru no tās sejas vidū no tā;
• mediāna par visām malām, kas ir pa vidu.

No sfēras ar šādu formulu, kas aprakstīta rādiuss ir aprēķināts:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

No iezīmēts sfēras rādiuss ir aprēķināts sekojoši:

• R = a: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

kur θ - divplakņu leņķis, kas ir starp blakus šķautnes.

Vidējais rādiuss sfēras var aprēķināt, izmantojot šādu formulu:

• ρ = cos π / p: 2 sin π / h,

kur h = lielumu 4.6, 6.10, vai 10. izliekuma Iezīmēts aprakstīts ratio un simetriski attiecībā uz p un q. To aprēķina šādi:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

Simetrijas polyhedra

No regulāra polyhedra simetriju ir primārā interese šiem ģeometriskās struktūras. To saprot kā kustību ķermenī telpā, kas atstāj tikpat daudz virsotnes, sejas un malām. Citiem vārdiem sakot, reibumā simetrijas transformācijas malas, virsotne, vai seja saglabā savu sākotnējo stāvokli, vai pārceļas uz mājas stāvokli citas ribas, citām virsotnēm vai sejas.

Elementi simetrijas regulāri polyhedra ir kopīgi visiem ģeometriskās cietvielas veidiem. Šeit tiek veikta identitātes transformāciju, kas atstāj jebkuru no punktiem sākotnējā stāvoklī. Tātad, kad jūs pagrieziet daudzstūra prizma var iegūt kādu simetriju. Jebkuru no tiem var tikt pārstāvēta kā produkts pārdomām. Simetrija, kas ir produkts, kas pat skaita pārdomas, ko sauc tieši. Ja tas ir produkts no nepāra skaita pārdomas, tad to sauc par atgriezenisko saiti. Tātad, visi pagriežas līnijas pārstāv taisni simetriju. Jebkura pārdomas daudzskaldnis - ir apgriezti simetrija.

Lai labāk izprastu simetrijas elementus regulāri polyhedra, varat ņemt piemēru četrskaldnis. Jebkura līnija, kas iet caur vienu no virsotnes un centra ģeometriskās formas, notiks, un caur centru malas pretī uz to. Katrs no pagriezieniem 120 un 240 ° ap līniju pieder daudzskaitļa tetraedriskā simetrijas. Kopš tā 4 virsotnes un sejām, mēs kopā astoņas tiešo simetrijas. Jebkurš no līnijas, kas šķērso vidu malām centru un ķermeni, tā iet pa vidu pretējo malu. Jebkura rotācija 180 °, ko sauc par pusi apgriezties taisnu simetrijas. Tā četrskaldnis ir trīs pāri ribu, jums trīs līnijas simetrijas. Pamatojoties uz iepriekš minēto, mēs varam secināt, ka kopējais skaits tiešo simetrijas, un tostarp identitātes transformāciju, būs līdz divpadsmit. Citi tiešā simetriju četrskaldnis neeksistē, bet tas ir 12 apgriezto simetriju. Līdz ar to, tikai līdz 24. punktam atšķiras Tetrahedron symmetries. Skaidrības labad, mēs varam izveidot modeli regulāru četrskaldnis izgatavots no kartona un pārliecinieties, ka tā ir ģeometriskais ķermenis patiešām ir tikai 24 simetriju.

Dodecahedron un icosahedron - vistuvāk ķermeņa zonā. Icosahedron ir lielākais skaits, sejas, arī divplakņu leņķi un lielākā daļa no visiem, var cieši turas pie ierakstītas jomā. Dodecahedron ir zemākais leņķa defektu lielākais cieto leņķi pie virsotnes. To var palielināt līdz aizpildīt saistošās sfērā.

skenēšana polyhedra

Regulāra polyhedra skenēšanas, ko mēs visi iestrēdzis kopā bērnībā, ir daudz jēdzienu. Ja ir kopums daudzstūriem, katra puse, kas tiek identificēts tikai ar vienu pusi daudzskaldnis identifikācijas pušu jāatbilst diviem nosacījumiem:

• Katra poligona, jūs varat doties uz daudzstūris kuras identificēt pusē;
• identificējama pusē jābūt vienāda garuma.

Tas ir kopums, daudzstūru, kas atbilst šiem nosacījumiem, un sauc daudzskaldnis skenēšanas. Katra no šīm iestādēm ir vairāki no tiem. Piemēram, kubs, kas ir 11 gabali.