Georg Kantor: Iestatiet teoriju, biogrāfiju un ģimenes matemātiku

George Cantor (attēlā attēlots zemāk) ir vācu matemātiķis, kas izveidoja teoriju komplektiem un ieviesis jēdzienu transfinīts skaitļi, bezgalīgi liels, bet atšķiras viens no otra. Viņš arī sniedza kārtas un kardinālu numuru definīciju un radīja to aritmētiku.

George Cantor: īsa biogrāfija

Viņš dzimis Sanktpēterburgā 03/03/1845. Viņa tēvs bija protestantu reliģijas dēls Georg-Valdemar Kantor, kas nodarbojās ar tirdzniecību, arī biržā. Viņa māte Maria Boehm bija katoļu un nāca no izcilu mūziķu ģimenes. Kad 1856. gadā Georgas tēvs saslima, ģimene pārcēlās uz Vīsbādenu, bet pēc tam - uz Frankfurti, meklējot maigāku klimatu. Zēna matemātiskie talanti parādījās pirms viņa 15. dzimšanas dienas, studējot privātās skolās un ģimnāzijās Darmštatē un Vīsbādenē. Galu galā Georgs Kantors pārliecināja savu tēvu par viņa stingro nodomu kļūt par matemātiku, nevis par inženieri.

Pēc īsa pētījuma Cīrihes universitātē 1863. gadā Kantors tika pārcelts uz Berlīnes universitāti, lai studētu fiziku, filozofiju un matemātiku. Tur viņš tika mācīts:

• Karls Theodors Weierstrass, kura specializācija analīzē, visticamāk, visvairāk ietekmēja Georgu;
• Ernsts Eduards Kumers, kurš mācīja augstāko aritmētiku;
• Leopolds Kronecker, skaitļu teorijas speciālists, kurš vēlāk iebilda pret Cantor.

Pēc viena semestra Göttingenas universitātē 1866.gadā nākošajā gadā Georgs rakstīja doktora disertāciju ar nosaukumu "Matemātika, jautājums ir jautrāka māksla, nevis problēmu risināšana" par problēmu, kuru Karls Frīdrihs Gauss neatrisināja savā Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Pēc īsa mācīšanās Berlīnes skolā meitenēm Kantors sāka strādāt Halē universitātē, kur viņš vispirms mācījās par skolotāju, no 1872. gada kā docents un no 1879. gada kā profesors.

Pētījumi

Gada sākumā sērijas 10 darbi no 1869 līdz 1873, George Cantor uzskatīja skaitļu teoriju. Darbs atspoguļoja entuziasmu par šo tēmu, viņa pētījumiem par Gaussu un Kronecera ietekmi. Pēc Henry Edouard Heine ieteikuma, Cantora kolēģis Halle, kurš atpazina viņa matemātisko talantu, viņš pievērsās trigonometrisko sēriju teorijai, kurā viņš paplašināja reālo skaitļu jēdzienu.

Sākot no darba par kompleksā mainīgā vācu matemātiķa Bernharda Riemana funkciju 1854. gadā, 1870. gadā Cantors parādīja, ka šādu funkciju var attēlot tikai vienā virzienā - ar trigonometrisko virkni. Ņemot vērā tādu skaitļu kopumu (punktus), kas nebūtu pretrunā šādai reprezentativitātei, vispirms 1872. gadā viņš noteica iracionālo skaitļu definīciju attiecībā uz saprātīgām racionālu skaitļu sekcijām (veselu skaitļu daļām) un turpināja darbu visā viņa dzīves laikā, Komplektu teorija un transfinīta skaitļu jēdziens.

Komplektu teorija

Džordžs Kantors, kura teorija ir radusies sarakstē ar Braunšveigas tehniskā institūta matemātiķi Ričardu Dedekindu, bija bērnībā draugi. Viņi secināja, ka komplekti, kas ir ierobežoti vai bezgalīgi, ir elementu kolekcija (piemēram, skaitļi, {0, ± 1, ± 2 ....}), kuriem piemīt kāds īpašums, saglabājot savu individualitāti. Bet, kad Džordžs Kantors pielietoja individuālo korespondenci, lai izpētītu to īpašības (piemēram, {A, B, C} līdz {1, 2, 3}), viņš ātri saprata, ka viņi atšķiras piederības pakāpē, pat ja tie būtu bezgalīgi daudzi , Tas ir, nosaka, kura daļa vai apakškopa ietver tik daudz objektu kā tā pati. Viņa metode drīz radīja pārsteidzošus rezultātus.

Džordžs Kantors (matemātiķis) 1873. gadā parādīja, ka racionāli skaitļi, lai arī bezgalīgi, ir skaitliski skaitā, jo tos var ievietot savstarpējai atbilstībai ar dabiskām (t.i., 1, 2, 3 utt.). Viņš parādīja, ka reālo skaitļu kopums, kas sastāv no neracionāla un racionāla, ir bezgalīgs un neskaitāms. Paradoksāli ir tas, ka Cantor pierādīja, ka visu algebrisko skaitļu kopumā ir tik daudz elementu kā visu veselu skaitļu kopums, un ka pārnozāvošie skaitļi, kas nav algebriski, kas pārstāv neaprobežotu skaitļu apakškopu, ir neskaitāmi un tāpēc to skaits ir lielāks par veseliem skaitļiem , Un tas jāuzskata par bezgalīgu.

Pretinieki un atbalstītāji

Tomēr Cantora darbs, kurā viņš pirmo reizi izvirzīja šos rezultātus, žurnālā Krell netika publicēts, jo viens no recenzentiem, Kronecker, kategoriski iebilda pret. Bet pēc Dedekinda iejaukšanās to publicēja 1874. gadā ar nosaukumu "Par visu reālu algebrisko skaitļu raksturīgajām īpašībām".

Zinātne un personīgā dzīve

Tajā pašā gadā medusmēnesī kopā ar sievu Valli Gutman Interlakenā, Šveicē, Cantor tikās ar Dedekindu, kurš laipni atbildēja uz viņa jauno teoriju. Džordža alga bija maza, bet ar tēva naudu, kas nomira 1863. gadā, viņš uzcēla māju savai sievai un pieciem bērniem. Daudzi viņa darbi tika publicēti Zviedrijā jaunajā žurnālā Acta Mathematica, kura redaktors un dibinātājs bija Gesta Mittag-Leflers, viens no pirmajiem, kas atzina vācu matemātiķa talantu.

Attiecības ar metafiziku

Cantora teorija ir kļuvusi par pilnīgi jaunu pētījumu objektu, kas saistīts ar bezgalīgas matemātikas (piemēram, 1., 2., 3. sērija utt., Un sarežģītākiem komplektiem), kas lielā mērā bija atkarīga no savstarpējas atbilstības. Kantoru jaunu metožu izstrāde, lai radītu jautājumus par nepārtrauktību un bezgalību, ir radījusi neskaidrības.

Kad viņš apgalvoja, ka patiešām eksistē bezgalīgi skaitļi, viņš vērsās pie senās un viduslaiku filozofijas attiecībā uz faktisko un potenciālo bezgalību, kā arī uz agrīno reliģisko izglītību, ko viņa vecāki viņam deva. 1883. gadā savā grāmatā "Vispārīgo teoriju pamati" Kantors apvienoja savu koncepciju ar Platona metafiziku.

Kronecker, kurš apgalvoja, ka pastāv tikai veseli skaitļi ("Dievs radīja veselus skaitļus, bet pārējais ir cilvēka darbs"), daudzus gadus neapšaubāmi noraidīja viņa argumentāciju un neļāva viņu iecelt Berlīnes universitātē.

Transfinīta skaitļi

Laika posmā no 1895. līdz 1997. gadam. Georgs Cantor pilnībā veidoja savu ideju par nepārtrauktību un bezgalību, tostarp bezgalīgu kārtas numuru un kardinālu skaitu viņa slavenākajā darbā, kas tika publicēts ar nosaukumu "Ieguldījums pārveidoto skaitļu teorijas radīšanā" (1915). Šajā darbā ir viņa koncepcija, uz kuru viņam vadīja demonstrācija, ka bezgalīgu komplektu var nodot savstarpējai sarakstei ar vienu no tās apakšgrupām.

Saskaņā ar mazāko transfinīts kardinālu skaitli viņš nozīmēja jebkura komplekta spēku, ko var ievietot vienai personai atbilstoši dabīgiem skaitļiem. Cantor to sauca par alef-nulli. Lielie transfinātiskie komplekti tiek apzīmēti alef-one, alef-two utt. Viņš tālāk izstrādāja transfinēto skaitļu aritmētiku, kas bija analoģiska ierobežotai aritmētikai. Tādējādi viņš bagātināja bezgalības jēdzienu.

Opozīcija, ar ko viņš saskārās, un laiks, kas nepieciešams, lai viņa idejas tiktu pilnībā pieņemtas, izskaidrojamas ar grūtībām pārvērtēt seno jautājumu par to, cik šis skaitlis ir. Cantors parādīja, ka punktu skaitam līnijā ir lielāka jauda nekā alef-nulle. Tas noveda pie plaši pazīstamās nepārtrauktās hipotēzes problēmas - starp alef-nulli un līnijas punktiem nav kārtas skaitļu. Šī problēma 20. gadsimta pirmajā un otrajā pusē izraisa lielu interesi un to pētīja daudzi matemātiķi, tostarp Kurt Gödel un Paul Cohen.

Depresija

Džordža Kantora biogrāfija no 1884. gada aizēnoja viņa garīgās slimības sākumu, taču viņš turpināja aktīvi strādāt. 1897. gadā viņš palīdzēja veikt pirmo starptautisko matemātisko kongresu Cīrihē. Daļēji tāpēc, ka viņš bija pret Kronecker, viņš bieži vien simpātijas jauniem matemātiķiem sākumā un centās atrast veidu, kā tos pasargāt no skolotājiem, kuriem jūtas draudi ar jaunām idejām.

Atzīšana

Gadsimta mijā savu darbu pilnībā atzina par pamatu funkciju teorijai, analīzei un topoloģijai. Turklāt Cantora Džordža grāmatas kļuva par impulsu matemātikas loģisko pamatu intuitālajām un formalizētām skolām. Tas būtiski mainīja mācību sistēmu un bieži vien ir saistīts ar "jaunu matemātiku".

1911. gadā Kantor bija viens no uzaicinātajiem svinēt Sv. Andrews Universitātes 500 gadu jubileju Skotijā. Viņš devās tur, cerot satikties ar Bertrand Russell, kurš savā nesen publicētajā darbā Principia Mathematica vairākkārt atsaucās uz vācu matemātiķi, taču tas nenotika. Universitāte piešķīra Cantor goda diplomu, taču slimības dēļ viņš nevarēja pieņemt balvu personīgi.

Cantors, kurš 1913. gadā pensionēja, dzīvoja nabadzībā un Pirmā pasaules kara laikā nomocījās. 1915. gadā svinības par viņa 70. dzimšanas dienu tika atceltas kara dēļ, bet viņa mājās notika neliela ceremonija. Viņš nomira 1918. gada 6. janvārī Halle, psihoneiroloģiskajā slimnīcā, kur viņš pavadīja pēdējos dzīves gadus.

George Cantor: biogrāfija. Ģimene

1874. gada 9. augustā vācu matemātiķis apprecējās ar Vali Gutmanu. Laulātajiem bija 4 dēli un 2 meitas. Pēdējais bērns dzimis 1886. gadā jaunajā Cantor nopirktā mājā. Lai atbalstītu viņa ģimeni, viņš palīdzēja mantot tēvu. Par Cantor veselību lielā mērā ietekmēja viņa jaunākā dēla nāvi 1899. gadā - kopš tā laika viņš nav nomākts.