Ģeometriskā progresijā, un tās īpašības

Ģeometriskā progresija ir svarīga matemātikā kā zinātne, un piemēroti nozīmi, jo tā ir ļoti plaša darbības joma, pat augstākās matemātikas, piemēram, teoriju sērijas. Pirmā informācija par progresu atnāca pie mums no senās Ēģiptes, it kā labi zināmo problēmu ar Rhind papirusa septiņas personas ar septiņiem kaķiem. Variācijas šo uzdevumu tika atkārtots vairākas reizes dažādos laikos no citām nācijām. Pat Velikiy Leonardo Pizansky, kas pazīstams kā Fibonači (XIII c.), Runāja ar viņu savā "grāmatā Abacus".

Tāpēc, ka ģeometriskā progresijā ir sena vēsture. Tā ir ciparu secību ar nulle pirmā locekļa, un katru nākamo, sākot ar otro tiek noteikta, reizinot iepriekšējo atkārtoto formulu pie konstantai, nulle skaitu, kas tiek saukts saucējs progresēšanas (tas parasti apzīmē ar burtu q).
Protams, tas var atrast, dalot katru nākamo termiņu secību ar iepriekšējo, t.i., z 2: z 1 = ... = Zn: z n-1 = .... Līdz ar to lielākajai daļai darba progresijai (Zn) pietiekami, ka tā zina vērtību pirmā termiņa saucēju un y 1 q.

Piemēram, ļaut z 1 = 7, q = - 4 (q <0), tad šādu ģeometriskā progresijā tiek iegūts ar 7 - 28, 112 - 448, .... Kā jūs varat redzēt, kā rezultātā secība nav monotona.

Atgādināt, ka patvaļīga secība monotoni (pieaug / samazinās), kad viens no tās locekļiem sekot vairāk / mazāk nekā iepriekšējā. Piemēram, secība 2, 5, 9, ..., un -10, -100, -1000, ... - Monotone, otrs - ir samazinājies to ģeometrisko progresēšanu.

Gadījumā, kur q = 1, tad visi locekļi ir konstatēts, ka, un to sauc par pastāvīga progresija.

Secība bija progresija šāda veida, tai ir jāatbilst šādu nepieciešams un pietiekams nosacījums, proti: sākot no otrā, katram no tās dalībniekiem jābūt ģeometriskais vidējais kaimiņu locekļiem.

Šajā iestādē atļauts saskaņā noteiktā divu blakus noskaidrošanas patvaļīgs termiņa progresēšanu.

n-th termins eksponenciāli viegli atrast pēc formulas: Zn = z 1 * q ^ (n-1), z zinot pirmais loceklis 1 un saucējs q.

Tā numuru secība ir summa, tad daži vienkārši aprēķini dod mums formulu, lai aprēķinātu summu pirmās progresijas locekļu, proti:

S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).

Aizstājot ar formulu tā izteiksme vērtība Zn z 1 * q ^ (n-1), lai iegūtu otru summa formulu progresēšanas: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Vai ir vērts pievērst uzmanību šādiem interesants fakts: māls tablete atrasti izrakumos seno Babilonas, kas attiecas uz VI. BC, ir izcils veids, summa 1 + 2 + ... + 22 + 29 ir vienāds ar 2 līdz desmito strāvas mīnus 1. Šīs parādības skaidrojums vēl nav atrasts.

Mēs atzīmējam viens no īpašībām ģeometriskā progresijā - pastāvīgu darbu, tās locekļi, izvietotas vienādā attālumā no galiem secības.

Īpaši svarīga no zinātniskā viedokļa, tāda lieta kā bezgalīgu ģeometriskā progresijā, un aprēķinot summu. Pieņemot, ka (in) - ģeometriskā progresijā, kam kopsaucēja q, izpildot nosacījumu | q | <1, tā summa tiks minētas ierobežojumu uz ko mēs jau zinām summu tās pirmajiem dalībniekiem, ar neaprobežots pieaugums n, tad ir pie tā tuvojas bezgalībai.

Atrast šo summu, kā rezultātā, izmantojot formulu:

S n = y 1 / (1- q).

Un, kā pieredze rāda, par šķietamo vienkāršību šo progresijas ir paslēpts milzīgs pieteikumu potenciālu. Piemēram, ja mēs būvēt secību kvadrātu, izmantojot šādu algoritmu, kas savieno viduspunktus iepriekšējo, tad tie veido kvadrātveida bezgalīgu ģeometrisku progresiju, kam ir saucējs 1/2. Tas pats progresija forma un platība trijstūriem, kas iegūta katrā būvniecības stadijā, un tā summa ir vienāda ar platību sākotnējā laukumā.